Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f′（x）=

x2-a

x

（x＞0），对参数a分a≤0与a＞0讨论，即可得到f′（x）的符号，从而可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）可求得g′（x）=

x2+2x-a

x

（x＞0），设h（x）=x²+2x-a（x＞0），利用g（x）在[1，e]上不单调，可得h（1）h（e）＜0，从而可求得3＜a＜e²+2e，再利用条件g（x）仅在x=e处取得最大值，可求得g（e）＞g（1），两者联立即可求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

（x＞0）---------（2分）
若a≤0，则f′（x）≥0，所以此时只有递增区间（0，+∞）-----------------------------（4分）
若a＞0，当f′（x）＞0时，得x＞

a

，当f′（x）＜0时，得0＜x＜

a

，
所以此时递增区间为：（

a

，+∞），递减区间为：（0，

a

）---------------------（6分）
（Ⅱ）g′（x）=x-

a

x

+2=

x2+2x-a

x

（x＞0），设h（x）=x²+2x-a（x＞0）
若g（x）在[1，e]上不单调，则h（1）h（e）＜0，
∴（3-a）（e²+2e-a）＜0
∴3＜a＜e²+2e，
同时g（x）仅在x=e处取得最大值，
∴只要g（e）＞g（1）即可
得出：a＜

e2

2

+2e-

5

2

-------------------------------------------------------------------（13分）
∴a的范围：（3，

e2

2

+2e-

5

2

）--------------------------------------------------------------------（15分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查构造函数与转化思想的综合运用，属于难题．