Question

a₁，a₂，a₃，a₄是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则

a1

d

的值为

 

．

Answer 1

分析：先利用等差数列通项公式分别表示出a₂，a₃，a₄，进而分别看a₁、a₂、a₃成等比数列，a₁、a₂、a₄成等比数列和a₁、a₃、a₄成等比数列时，利用等比中项的性质，得a₂²=a₁•a₃和a₂²=a₁•a₄和a₃²=a₁•a₄，进而求得a₁和d的关系．

解答：解：a₂=a₁+d  a₃=a₁+2d  a₄=a₁+3d
若a₁、a₂、a₃成等比数列，则a₂²=a₁•a₃
（a₁+d）²=a₁（a₁+2d）
a₁²+2a₁d+d²=a₁²+2a₁d
d²=0
d=0 与条件d≠0矛盾
若a₁、a₂、a₄成等比数列，则a₂²=a₁•a₄
（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
a₁²+2a₁d+d²=a₁²+3a₁d
d²=a₁d
∵d≠0
∴d=a₁
则

a1

d

=1
若a₁、a₃、a₄成等比数列，则a₃²=a₁•a₄
（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d）
a₁²+4a₁d+4d²=a₁²+3a₁d
4d²=-a₁d
∵d≠0
∴4d=-a₁
则

a1

d

=-4
若a₂、a₃、a₄成等比数列，则a₃²=a₂•a₄
（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+3d）
a₁²+4a₁d+4d²=a₁²+4a₁d+3d²
d²=0
d=0 与条件d≠0矛盾
综上所述：

a1

d

=1 或

a1

d

=-4
故答案为1或-4

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．