Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．其中a²＞b²+c²，且a=30，△ABC的面积S=105，外接圆面积是289π．
（1）求sinA，cosA的值；
（2）求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）利用外接圆面积是289π．求出外接圆半径，通过正弦定理求出sinA，cosA的值；
（2）通过三角形的面积求出bc的值，利用余弦定理再得到b，c的关系，求出b+c的值，即可求△ABC的周长．

解答：解：（1）在△ABC中，由已知条件可知：
A为钝角，a=30，外接圆面积是289π．所以外接圆半径R=17，
所以

a

sinA

=2R=34，sinA=

15

17

，cosA=-

8

17

；
（2）△ABC的面积S=105，105=

1

2

bcsinA，bc=238
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）
（b+c）²=a²+2bc（1+cosA）=900+2×238×（1-

8

17

）=1152
b+c=24

2

，△ABC的周长为：30+24

2

．

点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆、正弦定理、余弦定理、三角形的面积、周长等知识的应用，考查计算能力，转化思想．