Question

直角三角形的直角顶点为动点，，为两个定点，作于，动点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线，曲线与轴正半轴的交点为．

(Ⅰ) 求曲线的方程；

(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线，与曲线交于，两点，且 与的夹角为？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）曲线的方程为；（Ⅱ）存在满足条件的直线．

解析:

（I）由题意知，点在以为直径的圆上，且除去两点．

即点坐标满足方程：．

设点，，则，　　①

由知，，即．代入①式

得　，即，曲线的方程为．           

（II）由（I）知，点，假设直线存在，可设，设，不妨令 ，则由 得  ．                

  ，，，

．   ,

则

，

则，  即，，解得或．                           

当时，向量与的夹角为，不合题意舍去；

当时，向量与的夹角为，符合题意．

综上，存在满足条件的直线．