题目内容

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜.

(1)当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x1;

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜.

证明：(1)令F(x)=f(x)-x,因为x1、x2是方程f(x)-x=0的根，所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).

当x∈(0,x1)时，由于x1＜x2，

得(x-x1)(x-x2)＞0.

又a＞0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)＞0,即x＜f(x).

用“作差比较法”证明f(x)＜x1,

x1-f(x)=x1-［x+F(x)］

=x1-x+a(x1-x)(x-x2)

=(x1-x)［1+a(x-x2)］,

因为0＜x＜x1＜x2＜,

所以x1-x＞0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2＞1-ax2＞0，得x1-f(x)＞0.由此得f(x)＜x1.

(2)依题意知x0=-,因为x1、x2是方程f(x)-x=0的根，即x1、x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根，所以x1+x2=.

x0=-==.

因为ax2＜1,所以x0＜=.

练习册系列答案
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设二次函数f(x)=x2+x+c(c＞
1
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)的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x2-x1的取值范围为（　　）
A、（0，1）
B、(0，
2
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)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a1∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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-a1
)+log3(
1
1
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-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，
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)时，数列{an}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=
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，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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-a1
)+log3(
1
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-a2
)+…+log3(
1
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-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；正数数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当an∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列{lg(
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-an)+lg2}是等比数列．

设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为(    )

A.正数          B.负数   　　C.非负数              D.正数、负数和零都有可能

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