Question

已知双曲线M：

x2

a2

-

y2

b2

=1和双曲线N：

y2

a2

-

x2

b2

=1，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（　　）

• A．

  5 +1

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  5 +3

  2

• D．

  3- 5

  2

Answer 1

分析：根据双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b²=c²-a²化简整理，得e⁴-3e²+1=0，解之得e²=

3+ 5

2

=（

5 +1

2

）²，从而得到双曲线M的离心率e=

5 +1

2

．

解答：解：∵双曲线M方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，双曲线N方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1，其中b＞a＞0，
∴两个双曲线的焦距相等，设为个焦距为2c，其中c满足：c=

a2+b2

∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，
∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得

c2

a2

-

c2

b2

=1，结合b²=c²-a²得：

c2

a2

-

c2

c2-a2

=1，
去分母，得c²（c²-a²）-a²c²=a²（c²-a²），
整理，得c⁴-3a²c⁴+a⁴=0，所以e⁴-3e²+1=0，解之得e²=

3+ 5

2

=（

5 +1

2

）²（另一值小于1舍去）
∴双曲线M的离心率e=

5 +1

2

故选A

点评：本题给出两个形状相同，但焦点分别在x、y上的双曲线，它们的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质与基本概念，属于中档题．