Question

【题目】设函数，

（1）当为自然对数的底数时，求的极小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意，恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；（3），．

【解析】

（1）时，，利用判定的增减性并求出的极小值；

（2）由函数，令，求出；设，求出的值域，讨论的取值，对应的零点情况；

（3）由，恒成立，等价于恒成立，即在上单调递减；，求出的取值范围．

解：（1）当时，，

；

当时，，在上是减函数；

当时，，在上是增函数；

时，取得极小值为；

（2）函数，

令，得；

设，

；

当时，，在上是增函数，

当时，，在上是减函数；

是的极值点，且是极大值点，

是的最大值点，

的最大值为（1）；

又，结合的图象，如图；

可知：①当时，函数无零点；

②当时，函数有且只有一个零点；

③当时，函数有两个零点；

④当时，函数有且只有一个零点；

综上，当时，函数无零点；

当或时，函数有且只有一个零点；

当时，函数有两个零点；

（3）对任意，恒成立，

等价于恒成立；

设，

则．

在上单调递减；

在上恒成立，

，

；

对于，仅在时成立；

的取值范围是，．