Question

已知等差数列{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，且a₅≥10，S₁₅＜255．
（1）求通项a_n；
（2）若数列a₁，a₃，，，，…，…，成等比数列，试找出所有的n∈N*，使为正整数，说明你的理由．

Answer 1

解：（1）因为 a₅≥10，S₁₅＜255，设{a_n}的公差为d，则有 ．
化简可得 ，∴2d＜5．
再由{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，∴d=2,
∴a₁=2
故．
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，
∴公比，
∴，
∴2·3ⁿ⁺¹=2b_n，，
故=．
此时当n=1，3，5时符合要求；当n=2，4时不符合要求．
由此可猜想：当且仅当n=2k﹣1，k∈N*时，C_n为正整数．
证明如下：
逆用等比数列的前n项和公式有：．
当n=2k，k∈N*时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时
当n=2k﹣1，k∈N*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时
故满足要求的所有n为n=2k﹣1，k∈N*．