Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(

1

2

)an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜

16

7

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₁=-1，S₁₂=186，确定数列的公差，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明数列{b_n}是等比数列，首项b1=(

1

2

)-1=2，公比q=

1

8

，求出数列{b_n}的前n项和为T_n，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=-1，S₁₂=186，∴S12=12a1+

12×11

2

d，…（2分）
即 186=-12+66d．…（4分）
∴d=3．…（5分）
所以数列{a_n}的通项公式 a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．…（7分）
（Ⅱ）证明：∵bn=(

1

2

)an，a_n=3n-4，∴bn=(

1

2

)3n-4．…（8分）
∵当n≥2时，

bn

bn-1

=(

1

2

)3=

1

8

，…（9分）
∴数列{b_n}是等比数列，首项b1=(

1

2

)-1=2，公比q=

1

8

．…（10分）
∴Tn=

2[1-( 1 8 )n]

1- 1 8

=

16

7

×[1-(

1

8

)n]．…（12分）
∵0＜

1

8

＜1，∴0＜(

1

8

)n＜1(n∈N*)，
∴1-(

1

8

)n＜1(n∈N*)．…（13分）
∴Tn=

16

7

×[1-(

1

8

)n]＜

16

7

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的求和公式，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，正确运用求和公式．