Question

从圆x²+y²-4x-6y+12=0外一点P(x₁,y₁),向圆引切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小时的点P坐标.

Answer 1

思路点拨：根据条件,这里的|PM|就是切线长,可以根据切线长写出表达式,也可以根据条件作等价转化,再求最小值成立的条件即可.

解：由题设知|MP|=|PO|,要求使|PM|最小的P点的坐标可转化为求P到O的距离最小时的x₁、y₁的值,这可从题设出发,找出x₁、y₁之间的关系.

将圆方程x²+y²-4x-6y+12=0配方可得(x-2)²+(y-3)²=1,则圆心为C(2,3)，半径r=1,所以切线PM与半径CM垂直(如图).

所以|PM|=.

由|MP|=|PO|,可得

.

化简整理可得2x₁+3y₁=6.

故满足|MP|=|PO|的P点的轨迹方程是2x+3y=6.

所以|PO|的最小值为O点到此直线的距离,即d=.

从而解方程组

    可得x₁=,y₁=,即满足条件的P点坐标为(,).