题目内容

已知f₀（x）=xⁿ，

，其中k≤n（n，k∈N₊），设F（x）=

，x∈[-1，1]。
（1）写出f₁（1）；
（2）证明：对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-n-1。

解：（1）由已知推得

从而有

.
（2）当

时，

当

时，

所以F（x）在[0，1]上为增函数
因函数F（x）为偶函数，
所以F（x）在[-1，0]上为减函数
所以对任意的x₁，x₂∈[-1，1]恒有

又∵

∴

∴

因此结论成立。，

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（2012•泉州模拟）已知f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设f_n（x）的极小值点为P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，试求a-b的最小值．

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）试用n，k表示：F（1），F（0）
（2）证明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）试用n，k表示：F（1），F（0）
（2）证明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

已知f₀（x）=xⁿ，f_k（x）=（1），其中k≤n（n，k∈N^*），设F（x）=f₀（x²）+f₁（x²）+…+f_k（x²）+…+f_n（x²），x∈［-1，1］.

（1）写出f_k（1）；

（2）证明：对任意的x₁，x₂∈［-1，1］，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-n-1.