Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a（a＞2），长度为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，求出球的半径，代入球的体积公式计算．

解答：解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的

1

8

．
其体积V=

1

8

×

4

3

×π×1³=

π

6

．
故答案是

π

6

．

点评：解题的关键是，根据P点满足的条件，判断几何体为球体的

1

8

．