Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且an=3an-1+2n-1(n∈N*且n≥2)，
（1）证明数列{an+2n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，可得an+2n=3(an-1+2n-1)，从而可知{an+2n}是以a1+21即为首项，以3为公比的等比数列；
（2）求出数列的通项，再分组求和，即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）设an+A•2n=3(an-1+A•2n-1)，整理得an=3an-1+A•2n-1，
对比an=3an-1+2n-1，得A=1．
∴an+2n=3(an-1+2n-1)，
∴{an+2n}是以a1+21即为首项，以3为公比的等比数列，
（2）由（1）知an+2n=3•3n-1=3n，
∴an=3n-2n，n∈N*，
∴Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+  …+(3n-2n)=(31+32+33+…+3n)-(21+22+23+…+2n)=

3(1-3n)

1-3

-

2(1-2n)

1-2

=

3n+1

2

-2n+1+

1

2

．

点评：本题考查构造法证明等比数列，考查数列的求和，解题的关键是构造新数列，证明等比数列，掌握数列求和的方法．