Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：第一问根据题意先写出抛物线的焦点坐标，设出点的坐标，利用中点坐标公式求得的中点坐标，利用条件，结合抛物线的定义，可得，从而求得的值，进而得到抛物线的方程；第二问根据题意，结合两直线平行的条件，得到其对应的式子，根据直线过定点的条件得到结果.

详解：（1）由题意知，

设，则的中点为，

因为，由抛物线的定义知：，

解得或（舍去），

由，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）由（1）知，设，，

因为，则，

由得，故，

故直线的斜率为，

因为直线和直线平行，

故可设直线的方程为，

代入抛物线方程得，

由题意知，得.

设，则，，

当时，，

可得直线的方程为，

由，整理可得，

所以直线恒过点，

当时，直线的方程为，过点，

所以直线恒过定点.