Question

如图在Rt△ABC中，三个顶点坐标分别为A（-1，0），B（1，0），C(-1，

2

2

)，曲线E过C点且曲线E上任一点P满足|PA|+|PB|是定值．
（Ⅰ）求出曲线E的标准方程；
（Ⅱ）设曲线E与x轴，y轴的交点分别为D、Q，是否存在斜率为k的直线l过定点(0，

2

)与曲线E交于不同的两点M、N，且向量

OM

+

ON

与

DQ

共线．若存在，求出此直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用题设点P满足|PA|+|PB|是定值，可知点P的及轨迹是以A，B为焦点的椭圆，从而可求曲线E的标准方程；（Ⅱ）设l方程与椭圆方程联立，利用l与椭圆有2个不同交点确定k的取值范围，利用向量

OM

+

ON

与

DQ

共线，求出k的取值，由此即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题设，|AC|=

2

2

，|AB|=2，|BC|=

3 2

2

∵点P满足|PA|+|PB|是定值．
∴|PA|+|PB|=

3 2

2

+

2

2

=2

2

＞|AB|
由椭圆的定义，可知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且a=

2

，c=1，b=

a2-c2

=1
∴曲线E的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由已知条件l方程为y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

消去y整理得（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0
l与椭圆有2个不同交点的条件为△=32k²-8（1+2k²）＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

若l与椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2= -

4 2 k

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)+2

2

= 

2 2

1+2k2

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂）
椭圆与x轴，y轴交点D（

2

，0），Q（0，1），

DQ

=(-

2

，1)
∵向量

OM

+

ON

与

DQ

共线
∴x1+x2=-

2

(y1+y2)
∴-

4 2 k

1+2k2

=-

2

×

2 2

1+2k2

解得k=

2

2

∉(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)
∴不存在符合题设条件的直线l．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，直线与椭圆联立，利用韦达定理是解题的关键．