Question

已知函数f(x)=(x-k)2e

x

k

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x），f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）根据若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，利用导数求函数f（x）在区间（0，+∞）的最大值，即可求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2(x-k) e

x

k

+

1

k

(x-k)2e

x

k

=

1

k

(x2-k2)e

x

k

，
令f′（x）=0，得x=±k
当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x	（-，-k）	-k	（-k，k）	k	（k，+）
f′（x）	+	0	-	0	+
F（x）		4k2e-1		0

所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-k），和（k，+∞），单调递减区间是（-k，k）；
当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x	（-∞，-k）	k	（k，-k）	-k	（-k，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
F（x）		0		4k2e-1

所以，f（x）的单调递减区间是（-∞，k），和（-k，+∞），单调递增区间是（k，-k）；
（Ⅱ）当k＞0时，有f（k+1）=e

k+1

k

＞

1

e

，不合题意，
当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（-k）=

4k2

e

，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤

1

e

，?f（-k）=

4k2

e

≤

1

e

，
解得-

1

2

≤k＜0，
故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，k的取值范围是-

1

2

≤k＜0．

点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是（II）的设置，有关恒成立问题一般转化为求函数 的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度．