Question

已知x，y∈R⁺，

a

=(x，1)，

b

=(1，y-1)，若

a

⊥

b

，则

1

x

+

4

y

的最小值为

9

．

Answer 1

分析：由题意可得：x+y=1，由基本不等式可得

1

x

+

4

y

=(

1

x

+

4

y

)(x+y)=5+

4x

y

+

y

x

≥5+2

4x y • y x

=4，只需验证等号成立的条件即可．

解答：解：由题意可得

a

•

b

=x+y-1=0，即x+y=1，且x，y为正数，
故

1

x

+

4

y

=(

1

x

+

4

y

)(x+y)=5+

4x

y

+

y

x

≥5+2

4x y • y x

=4，
当且仅当

4x

y

=

y

x

，即x=

1

3

，y=

2

3

时取等号．
故

1

x

+

4

y

的最小值为：9

点评：本题为基本不等式求最值的应用，注意“1”的代入是解决问题的关键，属基础题．