题目内容
若函数f（x）=x3-ax2（a＞0）在区间(| 20 | 3 |
分析：先对函数求导，利用函数在区间(
，+∞)上是单调递增函数的条件得出参数的取值范围，再根据函数图象的特征判断出方程f（x）=1000的解存在的范围，采用分离常数法将f（x）=1000变为a=x-
，构造一个新的函数g（x）=x-
，研究其图象特征即可．
| 20 |
| 3 |
| 1000 |
| x2 |
| 1000 |
| x2 |
解答：解：对f（x）求导得f'（x）=3x2-2ax
令f'（x）≥0以求原函数的单调增区间得3x2-2ax≥0，解得x≤0或x≥
a．
令f'（x）≤0以求原函数的单调减区间得3x2-2ax≤0，解得0≤x≤
a．
由题意知，区间（
，+∞）处于增区间，故
a≤
，结合已知条件a＞0，解得0＜a≤10．
令f（x）=0解得x=0或x=a．
结合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x3-ax2=1000，变形得a=x-
，
记g（x）=x-
，因为0＜a≤10，所以0＜g（x）≤10．
观察知，g（x）在x＞0上是增函数（求导也可得出），
经试算，有g（10）=0，g（14）=8+
，g（15）=10+
，可见0＜g（x）≤10的解在区间（10，15）上，所以x的整数解只可能是11、12、13、14共4个，
而a=g（x），g（x）为增函数，所以相应地，a值也只有4个
故答案为4
令f'（x）≥0以求原函数的单调增区间得3x2-2ax≥0，解得x≤0或x≥
| 2 |
| 3 |
令f'（x）≤0以求原函数的单调减区间得3x2-2ax≤0，解得0≤x≤
| 2 |
| 3 |
由题意知，区间（
| 20 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
令f（x）=0解得x=0或x=a．
结合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x3-ax2=1000，变形得a=x-
| 1000 |
| x2 |
记g（x）=x-
| 1000 |
| x2 |
观察知，g（x）在x＞0上是增函数（求导也可得出），
经试算，有g（10）=0，g（14）=8+
| 44 |
| 49 |
| 5 |
| 9 |
而a=g（x），g（x）为增函数，所以相应地，a值也只有4个
故答案为4
点评：本题考点是函数的单调性与导数的关系，考查了函数的单调性与导数的对应，以及方程有整数解时利用二分法的思想确定方程解的范围，本题的技巧性较强，有一定的难度．
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