Question

若f(x)＝x²＋bx＋c，不论a 、b 为何实数，恒有f(sina )≥0，f(2＋cosb )≤0．

(Ⅰ)求证：b＋c＝－1；

(Ⅱ)求证：c≥3；

(Ⅲ)若函数f(sina )的最大值为8，求b、c的值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(Ⅰ)依题意，f(sin)＝f(1)≥0，f(2＋cosp )＝f(1)≤0， 　　∴f(1)＝0Þ 1＋b＋c＝0Þ b＋c＝－1， 　　(Ⅱ)由(I)得：f(x)＝x2－(c＋1)x＋c(*) 　　∵f(2＋cosb )≤0Þ (2＋cosb )2－(c＋1)(2＋cosb )＋c≤0 　　Þ (1＋cosb )[c－(2＋cosb )]≥0，对任意b 成立． 　　∵1＋cosb ≥0Þ c≥2＋cosb ， 　　∴c≥(2＋cosb )max＝3． 　　(Ⅲ)由(*)得：f(sina )＝sin2a －(c＋1)sina ＋c， 　　设t＝sina ，则g(t)＝f(sina )＝t2－(c＋1)t＋c，－1≤t≤1， 　　这是一开口向上的抛物线，对称轴为t＝， 　　由(II)知：t≥＝2， 　　∴g(t)在[－1，1]上为减函数． 　　∴g(t)max＝g(－1)＝1＋(c＋1)＋c＝2c＋2＝8， 　　∴c＝3 　　∴b＝－c－1＝－4．