Question

已知双曲线C：

x2

4

-y²=1，P是C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀），由点到直线距离公式，得P到两准线的距离之积满足d1•d2=

1

5

|x0 2-4y02|，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到d1•d2=

4

5

，命题得证．
（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得|PA|²=

5

4

(x0-4)2+4，再根据二次函数的图象与性质，即可求出|PA|的最小值．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），P到两准线的距离记为d₁，d₂
∵两准线为x-2y=0，x+2y=0…..2'
∴d1•d2=

|x0-2y0|

5

•

|x0+2y0|

5

=

1

5

|x0 2-4y02|…..4’
又∵点P在曲线C上，
∴|x02-4y02|=x02-4y02=4，得d1•d2=

4

5

（常数）
即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数….6’
（2）设P（x₀，y₀），由平面内两点距离公式得
|PA|²=(x0-5)2+y02(x0-5)2+y02=x02-10x0+25+

x02

4

-1…8’
∵

x02

4

-y02=1，可得y02=

x02

4

-1
∴|PA|²=x02-10x0+25+

x02

4

-1=

5

4

(x0-4)2+4…..9’
又∵点P在双曲线上，满足|x₀|≥2，
∴当x₀=4时，|PA|有最小值，|PA|_min=2….12’

点评：本题在双曲线中，证明动点到两条渐近线的距离之积为常数并求距离最小值，着重考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和双曲线的简单性质等知识，属于中档题．