Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）；
（3）对（2）中的h（a），若关于a的方程有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数在某区间单调递减转化成导函数在该区间≤0恒成立，分离参数转化成求函数最值．
（2）令导数为0，求得根，讨论根与区间[1，2]的关系，判断根左右两边的符号求出最小值．
（3）方程有两不等根转化成函数图象有两不同交点．
解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，∴f′（x）=3x²-2ax．
∵函数f（x）在区间内是减函数，
∴f′（x）=3x²-2ax≤0在上恒成立．
即在上恒成立，
∵，∴a≥1．
故实数a的取值范围为[1，+∞）；

（2）解：∵，
令f′（x）=0得．
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a．
②若，即，
则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a．
③若，即，
则当时，f′（x）＜0；
当时，f′（x）＞0．
所以f（x）在区间上是减函数，
在区间上是增函数．
所以
④若a≥3，即，则当1＜x＜2时，
f′（x）＜0，所以f（x）在区间[1，2]上是减函数．
所以h（a）=f（2）=8-4a．
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]的最小值
；

（3）解：由题意有两个不相等的实数解，
即（2）中函数h（a）的图象与直线有两个
不同的交点．
而直线恒过定点，
由如图知实数m的取值范围是（-4，-1）．
点评：本题考查导数解决单调性问题；不等式恒成立问题；导数求最值问题；方程根问题；数形结合思想；转化化归思想．