Question

18．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有$f'（x）＜\frac{1}{10}$，则不等式$f（{x^2}）＞\frac{{{x^2}+8}}{10}$的解集为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由题意构造F（x）=f（x）-$\frac{1}{10}$x，可得F（x）在R上递减，原不等式即为F（x²）＞F（2），运用单调性和二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：对于任意的x∈R，都有$f'（x）＜\frac{1}{10}$，
可设F（x）=f（x）-$\frac{1}{10}$x，
由F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{10}$＜0，
可得F（x）在R上递减，
不等式$f（{x^2}）＞\frac{{{x^2}+8}}{10}$即为
f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{10}$＞$\frac{4}{5}$，
由f（2）=1，可得f（2）-$\frac{2}{10}$=$\frac{4}{5}$，
即有F（x²）＞F（2），
由F（x）在R上递减，
可得x²＜2，解得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$．
故答案为：（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查函数的单调性的运用：解不等式，同时考查构造函数，判断单调性，属于中档题．