Question

函数y=3^x-9^|x|（x∈R）的值域是

 

．

Answer 1

分析：根据函数y=3^x-9^|x|，去绝对值符号，欲求原函数的值域，先设u=3^x，当x≥0时将原函数式化成关于u的二次函数的形式，最后利用二次函数的性质求解即可，当x＜0时，利用函数的单调性求函数的值域，最终求并集即可求得结果．

解答：解：函数定义域为R，设u=3^x，
则u∈（0，+∞），
①当x≥0时，u≥1y=u-u²=-（u-

1

2

）²+

1

4

，
∴函数的最小值是 0，
②当x＜0时，0＜u＜1，y=u-

1

u2

在（0，1）上单调递增，
∴函数的值域是（-∞，0）．
综上所述函数y=3^x-9^|x|（x∈R）的值域是（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．

点评：本题主要考查了函数最值的应用及指数函数的性质，考查换元法求函数的值域，分类讨论的思想方法，属于基础题．