Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

Answer 1

解:抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0）.?

设直线MN的方程为y=k（x+1）.?

由得k²x²+2（k²-2）x+k²=0.?

∵直线与抛物线交于M、N两点,?

∴Δ＝４（ｋ²－２）²－４ｋ⁴＞０,

即ｋ²＜|ｋ²－２|，ｋ²＜１，－１＜ｋ＜１.?

设M（ｘ₁，ｙ₁）、N（ｘ₂，ｙ₂），抛物线焦点为F(1，0).?

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点,??

∴ＭＦ⊥NＦ.?

∴,即?

ｙ₁ｙ₂＋ｘ₁ｘ₂－（ｘ₁＋ｘ₂）＋１＝０.?

又ｘ₁＋ｘ₂＝－，ｘ₁ｘ₂＝１,?

ｙ₁²ｙ₂²＝１６ｘ₁ｘ₂＝１６且ｙ₁、ｙ₂同号,?

∴.?

解之k²=.?

∴ｋ＝,?

即直线的倾斜角为ａｒｃｔan或π－ａｒｃｔan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.