Question

已知函数f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在[

1

2

，2]上恒为正，则实数a的取值范围______．

Answer 1

当0＜a＜1时，
若函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[

1

2

，2]上恒正
即0＜ax²-x+

1

2

＜1在[

1

2

，2]上恒成立，
∴

1

x

-

1

2x2

＜a＜

1

x

+

1

2x2

而

1

x

-

1

2x2

在[

1

2

，2]上的最大值为

1

2

，

1

x

+

1

2x2

在[

1

2

，2]上的最小值为

5

8

∴此时

1

2

＜a＜

5

8

当a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[

1

2

，2]上恒正
则ax²-x+

1

2

＞1在[

1

2

，2]上恒成立，
即a＞

1

x

+

1

2x2

在[

1

2

，2]上恒成立
而

1

x

+

1

2x2

在[

1

2

，2]上的最大值为4
∴此时a＞4
故答案为：（

1

2

，

5

8

）∪（4，+∞）