Question

实验表明，某型号的汽车每小时的耗油量y（升）与速度x（千米/小时）的关系式为y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，已知甲乙两地相距180千米，最高时速为V千米/小时．
（1）当车速度x（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为f（x）（升），求函数f（x）的解析式并指出函数的定义域；
（2）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少？

Answer 1

（1）∵每小时的耗油量y（升）与速度x（千米/小时）的关系式为y=3(

x3

903

-

x

80

+2)，
甲乙两地相距180千米，当车速度x（千米/小时）时，
f（x）=

180

x

×y=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，x∈（0，V]…6分（2）∵f（x）=540(

x2

903

-

1

80

+

2

x

)，
∴f′（x）=540(

2x

903

-

2

x2

)
令f′（x）=0，解得x=90…8分
若V＜90，有f′（x）＜0，则函数f（x）在区间（0，V）内为单调减函数，所以车速为V（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小；…11分
若V≥90，当0＜x＜90时，f′（x）＜0；当90＜x≤V时，f′（x）＞0，所以，当x=90时，f（x）最小．…14分
综上：若V＜90，车速为V（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小；若V≥90，车速为90（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最小．…15