Question

（本小题满分14分）

已知，函数。

    （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；

    （2）讨论函数的单调性；         

    （3）在（1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数的取值组成的集合。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）①当时， 函数的单调增区间是和，减区间是。

②当时， 函数的单调增区间是和，减区间是。

③当时， 所以函数在定义域上是增函数。

（3）

【解析】解：（1），因为函数在处的切线与直线平行，所以，即，，所以或。

    又因为，所以。

    （2）函数的定义域为，在定义域上

    ,

    ①当时，。

当或时，；

当时，。

因此函数的单调增区间是和，减区间是。

②当时，。

当或时，；

当时，。

因此函数的单调增区间是和，减区间是。

③当时，，（只在处等于0），

所以函数在定义域上是增函数。

（3）当时，，由（2）知该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。因此在区间上，最小值只能在与中取到。

，

因为在上单调递减，，

所以，所以，

因此在区间上的最小值是，

若要保证对任意，恒成立，应该有，即，解得，因此实数的取值组成的集合是。