Question

若函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______．

Answer 1

∵函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±

a

．
函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，∴

a

≤10，∴a≤100．
∵f′（x）=3x²-a，令f′（x）=0，解得 x=±

a 3

．
当x＜-

a 3

，或 x＞

a 3

时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．当-

a 3

＜x＜

a 3

时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数．
故当x=-

a 3

时，函数取得极大值为f（-

a 3

）=

2a a

3 3

≤

2000

3 3

．
∵

2000

3 3

＜1000，∴f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性以及f（x）=x³-ax（a＞0），
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x³-ax=1000，可得 x²-a=

1000

x

．
此时有a=x²-

1000

x

，由于x为大于10的整数，由上知 x²-

1000

x

≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，
当x=14时，有142-

1000

4

=196-71

6

14

＞100，故可得a的值有三个，
故答案为 3．