Question

已知△ABC中，（b+a）（sinB-sinA）=asinB，又cos2C+cosC=1-cos（A-B）．
（I）试判断△ABC的形状；
（II）求cosC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin²C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得b²=a²+c²，推断出三角形为直角三角形．
（Ⅱ）利用（1）把sinAsinB=sin²C整理成关于cosx的一元二次方程求得cosC的值．

解答：解：（Ⅰ）由cos2C+cosC=1-cos（A-B）
得cosC+cos（A-B）=1-cos2C，cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
即sinAsinB=sin²C，根据正弦定理，ab=c²，①，
又由正弦定理及（b+a）（sinB-sinA）=asinB可知b²-a²=ab，②，由①②得b²=a²+c²，
所以△ABC是直角三角形，且B=90°；
（Ⅱ）∵A+C=90°，∴sin²C=sinAsinB=sinA=cosC，
从而cos²C+cosC-1=0，解得cosC=

-1+ 5

2

或cosC=

-1- 5

2

（舍去），
即cosC=

-1+ 5

2

．

点评：本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．