Question

（2011•丰台区二模）已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（1）求f(-

π

12

)的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数y=f（x）的最小值及取得最小值时的x值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的和（差）角公式，把f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

等价转化为f（x）=sin(2x-

π

6

)，由此能求出求f(-

π

12

)的值．
（2）由0≤x≤

π

2

，知0≤2x≤π．所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

． -

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，由此能求出函数y=f（x）的最小值及取得最小值时的x值．

解答：解：（1）∵f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)，…（5分）
∴f(-

π

12

)=sin(-2×

π

12

-

π

6

)=sin(-

π

3

)=-

3

2

．…（7分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴0≤2x≤π．
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

． …（9分）
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
即-

1

2

≤f(x)≤1．…（11分）
∴f(x)min=-

1

2

，
此时2x-

π

6

=-

π

6

，
∴x=0．              …（12分）
∴当x=0时，f(x)min=-

1

2

． …（13分）

点评：本题考查三角函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数和（差）角公式的灵活运用．