题目内容

有四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=（sinx+cosx）2；④y=sin2x-cos2x；其中在(0，
π
2
)上不是单调函数的是（　　）
A、①和④B、②和③
C、①和③D、②和④
分析：利用三角恒等变换公式，分别将各项中的函数化简为正弦型三角函数的形式，再根据正弦函数的单调性加以判断，可得只有①③的函数在(0，
π
2
)上不是单调函数，从而得到本题答案．
解答：解：对于①，y=sinx+cosx=
2
（sinxcos
π
4
+cosxsin
π
4
）=
2
sin（x+
π
4
），
∵当x∈(0，
π
2
)时，x+
π
4
∈(
π
4
，
3π
4
)，
∴函数y=sinx+cosx在(0，
π
4
)上为增函数，在(
π
4
，
π
2
)上为减函数，
故y=sinx+cosx在(0，
π
2
)上不是单调函数；
对于②，y=sinx+cosx=
2
（sinxcos
π
4
-cosxsin
π
4
）=
2
sin（x-
π
4
），
∵当x∈(0，
π
2
)时，x-
π
4
∈(-
π
4
，
π
4
)，
∴函数y=sinx+cosx在(0，
π
2
)上为单调增函数；
对于③，y=（sinx+cosx）2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x，
∵当x∈(0，
π
2
)时，2x∈（0，π），
∴函数y=（sinx+cosx）2在(0，
π
4
)上为增函数，在(
π
4
，
π
2
)上为减函数，
故y=（sinx+cosx）2在(0，
π
2
)上不是单调函数；
对于④，y=sin2x-cos2x=-cos2x=sin（2x-
π
2
），
∵当x∈(0，
π
2
)时，2x-
π
2
∈（-
π
2
，
π
2
），
∴函数y=（sinx+cosx）2在(0，
π
2
)上为单调增函数．
综上所述，只有①③的函数在(0，
π
2
)上不是单调函数．
故选：C
点评：本题给出几个三角函数表达式，求它在区间(0，
π
2
)上是否为单调函数．着重考查了三角恒等变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出四个命题：
①函数是定义域到值域的映射；       ②函数 f(x)=
x-3
+
2-x
；
③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线； ④函数 S=
x-3
+
3-x
．
其中，正确的有
 
个．
在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；
②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；
③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；
④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．
其中所有真命题的序号是
②③④
②③④
．
（2011•绵阳一模）己知函数f（x）=
a
x
-1（其中a是不为0的实数），g（x）=lnx，设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）判断函数F（x）在（0，3]上的单调性；
（Ⅱ）已知s，t为正实数，求证：ttex≥stet（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=f（
2a
x2+1
）+2m的图象与函数y=g（x2+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

己知函数f（x）=数学公式-1（其中a是不为0的实数），g（x）=lnx，设F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判断函数F（x）在（0，3]上的单调性；
（II）已知s，t为正实数，求证：ttex≥stet（其中e为自然对数的底数）；
（III）是否存在实数m，使得函数y=f（数学公式）+2m的图象与函数y=g（x2+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
己知函数f（x）=-1（其中a是不为0的实数），g（x）=lnx，设F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判断函数F（x）在（0，3]上的单调性；
（II）已知s，t为正实数，求证：ttex≥stet（其中e为自然对数的底数）；
（III）是否存在实数m，使得函数y=f（）+2m的图象与函数y=g（x2+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网