Question

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=( 1 2 )an，且b1+b2+b3= 21 8 ，      b1•b2•b3= 1 8 ，求{an}的通项．

．

Answer 1

分析：设等差数列{a_n}的公差为d，则有a_n+1-a_n=d，根据题中数列{b_n}的通项公式及同底数幂的除法法则进行运算，得到

bn+1

bn

为定值，确定出数列{b_n}是等比数列，设公比为q，由等式b₁•b₂•b₃=

1

8

，利用等比数列的性质变形，求出b₂的值，再利用等比数列的通项公式化简b₁+b₂+b₃=

21

8

，把求出的b₂代入得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值，利用等比数列的通项公式表示出b_n，把b₂及q的值代入，整理后得到以

1

2

为底数的幂，其指数即为a_n的通项公式．

解答：解：设d为{a_n}的公差，则有a_n+1-a_n=d，
∵

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=（

1

2

）^d为常数，…（2分）
∴数列{b_n}是等比数列，设其公比为q，
∵b₁•b₂•b₃=

1

8

，
∴

1

q

•b₂•b₂•b₂•q=

1

8

，即b₂³=

1

8

，
∴b₂=

1

2

，…（4分）
∵b₁+b₂+b₃=

21

8

，
∴

1

2q

+

1

2

+

q

2

=

21

8

，∴q=

1

4

或4．…（6分）
当q=

1

4

时，b_n=b₁•q^n-1=b₂q^n-2=

1

2

•（

1

4

）^n-2=（

1

2

）^2n-3，从而a_n=2n-3；…（8分）
当q=4时，b_n=b₂•q^n-2=

1

2

•4^n-2=（

1

2

）^-2n+5，从而a_n=-2n+5，…（10分）
∴a_n=2n-3或a_n=-2n+5．…（11分）

点评：此题考查了等差数列的通项公式，等比数列的确定，等比数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．