Question

已知双曲线C的渐近线为y=±x且过点M（，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知：双曲线C的焦点在x轴上，可设此双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．则，解出即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立，化为（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由题意△＞0，化为m²+1＞3k²．（*），进而得到根与系数的关系，于是得到线段AB的中点M的坐标．由|AD|=|BD|，可得k_AB•k_MD=-1．
即，化为4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，及3k²=4m+1≥0解出即可．
解答：解：（1）由题意可知：双曲线C的焦点在x轴上，可设此双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．
则，解得．
∴双曲线C的方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立，化为（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由题意△＞0，化为m²+1＞3k²．（*）
∴，．
设线段AB的中点为M（x，y），则，y=kx+m==．
∴M.．
∵|AD|=|BD|，∴k_AB•k_MD=-1．
∴，化为4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，
解得m＞4或m＜0．
由3k²=4m+1≥0，解得
∴m的取值范围是[-，0）∪（4，+∞）．
点评：本题中考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题的一般解法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．