Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4

5

．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量

n

=(2，1，

2

3

3

)，平面PBD的法向量为

m

=(-

3

，0，1)，利用向量的数量积公式，可求二面角A-PB-D的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，AB=4

5

，所以AD²+BD²=AB²，所以AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2

3

），B（0，8，0）
∴

BP

=(2，-8，2

3

)，

AB

=(-4，8，0)
设平面PAB的法向量为

n

=(x，y，z)
由

n

•

AB

=0，

n

•

BP

=0可得

-4x+8y=0 2x-8y+2 3 z=0

，取

n

=(2，1，

2

3

3

)
同理可得平面PBD的法向量为

m

=(-

3

，0，1)
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2 19

19

∴二面角A-PB-D的余弦值为

2 19

19

．

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，考查空间角解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确运用向量法求解空间角．