Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a²-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对函数求导，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（II）由题意可得f（x）的最大值≤2a²-1恒成立x∈[-1，2]，利用导数求函数f（x）在[-1，2]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
因为a＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的极小值为f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2时，当x∈[-1，a]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上递增，
当x∈[a，2]时f^/（x）＜0，f（x）在[a，2]上递减，
所以f（x）的最大值为f（a）=

4

3

a2-1，
令

4

3

a2-1≤2a2-1?a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2时，当x∈[-1，2]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上递增，
所以f（x）的最大值为f（2）=6a²-8a+

5

3

，
令6a2-8a+

5

3

≤2a2-1?3a2-6a+2≤0?1-

6

3

＜a＜1+

6

3

，
又a＞2，所以无解．
由上可知1＜a≤2．

点评：本题综合考查了利用函数的导数研究函数的极值最值问题，体现了转化的思想和分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．