Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c在x=2处取得极值为c-16．
（1）求a，b的值；   
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[3，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）求导，根据f′（2）=0，f（2）=c-16，即可求得a，b值；
（2）由（1）求出f（x）的极大值，由极大值为28，可求出c值，然后求出f（-3），f（3），及函数在区间[-3，3]上的极值，其中最大者最大值．

解答：解：（1）因为f（x）=ax³+bx+c，故f′（x）=3ax²+b，
由于f（x）在点x=2处取得极值，
故有

f′(2)=0  f(2)=c-16

，即

12a+b=0 8a+2b+c=c-16

，
化简得

12a+b=0  4a+b=-8

，解得

a=1  b=-12

，
则a，b的值分别为1，-12．
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12，
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（-∞，-2）上为增函数；
当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上为增函数．
由此可知f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=16+c，
f（x）在x=2处取得极小值f（2）=-16+c．
由题意知16+c=28，解得c=12．此时，f（-3）=21，f（3）=3，f（2）=-4，
所以f（x）在[-3，3]上的最大值为28．

点评：本题主要考查函数的导数与函数的极值、最值之间的关系，属于导数应用问题．