Question

已知函数f（x）=

a

x

-lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=3处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥5-3x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=3处取得极值，则f′（3）=0，求出a的值，然后验证即可；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)+3x-5=

a

x

-lnx+3x-5，然后利用导数研究该函数的最小值，使得最小值大于等于0，从而可求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)=-

x+a

x2

．
由f'（3）=0，得a=-3．
当a=-3时，由f'（x）＞0，得0＜x＜3，由f'（x）＜0，得x＞3，
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
即f（x）在x=3处取得极大值，符合题意，则实数a=-3；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)+3x-5=

a

x

-lnx+3x-5，则当x＞0时，g（x）≥0恒成立，
由g（1）=a-2≥0，得a≥2，g′(x)=

3x2-x-a

x2

，
方程g'（x）=0有一负根x₁和一正根x₂，x₁＜0＜x₂．其中x₁不在函数定义域内，
∴g（x）在（0，x₂）上是减函数，在（x₂，+∞）上是增函数，即g（x）在定义域上的最小值为g（x₂），
依题意只需g（x₂）≥0，即g(x2)=

a

x2

-lnx2+3x2-5≥0，
又∵3x22-x2-a=0，
∴

a

x2

=3x2-1，∵

a

x2

＞0，∴x2＞

1

3

，
∴g（x₂）=3x₂-1-lnx₂+3x₂-5≥0，即6x₂-6-lnx₂≥0．
令h（x）=6x-6-lnx，则h′(x)=

6x-1

x

，
当x∈(

1

3

，+∞)时，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函数．
又∵h（1）=0，
∴6x₂-6-lnx₂≥0的解集为[1，+∞），即x₂≥1，
∴a=3x22-x2≥2，即a的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值以及函数的恒成立问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题．