Question

已知数列{an}的通项公式为an=

n

n+a

(n，a∈N*)．
（1）若a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求a的值；
（2）当k（k≥3且k∈N^*）时，a₁，a₂，a_k成等差数列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据a_n的通项公式本别求得a₁，a₃，a₁₅，再根据等比中项的性质，可知a₁a₁₅=（a₃）²，进而求得a．
（2）根据等差中项的性质可知a₁+a_k=2a₂，化简可得（k-3）a=2，再利用k，a∈N^*求得k和a．

解答：解：（1）a1=

1

1+a

，a3=

3

3+a

，a15=

15

15+a

，a₁，a₃，a₁₅成等比数列，
∴a₁a₁₅=（a₃）²，∴a=0或a=9
∵a∈N^*，∴a=9．
（2）a满足条件，a1=

1

1+a

，a2=

2

2+a

，ak=

k

k+a

，a₁，a₂，a_k成等差数列，
∴a₁+a_k=2a₂，化简得（k-3）a=2
∵k，a∈N^*，∴a=1时，k=5或a=2时，k=4．

点评：本题主要考查了等比中项和等差中项的应用．属基础题．