Question

设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a²x²．
（1）当a=-1时，求与函数y=f（x）图象相切且与直线x-y+3=0平行的直线方程
（2）求函数y=f（x）的单调区间
（3）是否存在正实数a，使f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，切线的斜率为1，求出f′（x）后，利用导数的几何意义即可求出切点的坐标，进而求出切线的方程．
（2）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．注意对a进行分类讨论．
（3）若不等式f（x）≤g（x）对一切正实数x都成立，可以构造函数F（x）=f（x）-g（x）将其转化为函数恒成立问题，然后根据导函数求出F（x）的最大值，根据F（x）≤0恒成立?F（x）的最大值≤0进行求解

解答：解：（1）当a=-1时，由f（x）=-x+lnx 得f′（x）=-1+

1

x

，令f′（x）=1 得x=

1

2

所以切点坐标为（

1

2

，-

1

2

+ln

1

2

），切线方程为y-（-

1

2

+ln

1

2

）=（x-

1

2

），整理得y=x-1+ln

1

2

．
（2）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+

1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
当a＜0时，由f′（x）=0得x=-

1

a

，由f′（x）＞0得x＜-

1

a

，由f′（x）＜0得x＞-

1

a

，此时
f（x）在（0，-

1

a

）上为增函数，f（x）在（-

1

a

+∞）上为减函数．
（3）假设存在正数a，令F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）则F（x）_max≤0
由F′（x）=a+

1

x

-2a²x=0，
得：x=

1

a

∵当x＞

1

a

时，F′（x）＜0，∴F（x）为减函数；
当0＜x＜

1

a

时，F′（x）＞0，∴F（x）为增函数．
∴F（x）_max=F（

1

a

）=ln

1

a

∴ln

1

a

≤0，∴a≥1
∴a的取值范围为[1，+∞）．

点评：（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零；求y′=0的根，求出极值点；最后写出解答．（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′（x）=0，且在两侧f′（x）的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点