Question

已知函数f（x）=（|x|-b）²+c，函数g（x）=x+m．
（1）当b=2，m=-4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；
（2）当c=-3，m=-2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将b=2，m=-4代入函数解析式，根据f（x）≥g（x）恒成立将c分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c的取值范围；
（2）将c=-3，m=-2代入函数解析式得（|x|-b）²=x+1有四个不同的解，然后转化成（x-b）²=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）²=x+1（x＜0）也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵当b=2，m=-4时，f（x）≥g（x）恒成立，
∴c≥x-4-（|x|-2）²=

-x2+5x-8，x≥0 -x2-3x-8，x＜0

，由二次函数的性质得c≥-

7

4

．
（2）（|x|-b）²-3=x-2，即（|x|-b）²=x+1有四个不同的解，
∴（x-b）²=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）²=x+1（x＜0）也有两个不同解，
由根的分布得b≥1且1＜b＜

5

4

，
∴1＜b＜

5

4

．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及二次函数的最值和一元二次方程根的分布，属于中档题．