Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x+a

-2x-1，
∵f′（0）=0，∴a=1．
（2）f（x）=ln（x+1）-x²-x
所以问题转化为b=ln（x+1）-x²+

3

2

x在[0，2]上有两个不同的解，
从而可研究函数g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x在[0，2]上最值和极值情况．
∵g′（x）=-

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．
∴g_max（x）=g（1）=

1

2

+ln2，g_min（x）=g（0）=0，
又g（2）=-1+ln3，
∴当b∈[-1+ln3，

1

2

+ln2）时，方程有两个不同解．