Question

（2007•河北区一模）已知函数f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，2），且在x=1处的切线方程是y=-4x+

15

4

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数y=f（x）在区间[-4，1]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，f（0）=2，f'（1）=-4，f（1）=-

1

4

，从而得到三个方程，解出即可；
（Ⅱ）只需解不等式f'（x）＜0即可；
（Ⅲ）求出极值、断点处函数值，然后进行比较大小，其中最大者为最大值，最小者为最小值；

解答：解：（Ⅰ）由题意知f'（x）=4ax³+2bx，f（0）=2，f'（1）=-4，f（1）=-

1

4

，
∴

c=2 4a+2b=-4 a+b+c=- 1 4

．解得a=

1

4

，b=-

5

2

，c=2．
∴f（x）=

1

4

x⁴-

5

2

x²+2． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f'（x）=x³-5x，
由x³-5x＜0，得x∈（-∞，-

5

）∪（0，

5

），
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-

5

）和（0，

5

）． 
（Ⅲ）∵在区间[-4，1]上有f′(-

5

)=0，f'（0）=0，
∴解得f（-4）=26，f(-

5

)=-

17

4

，f（0）=2，f（1）=-

1

4

．
∴在区间[-4，1]上函数y=f（x）的最大值为26，最小值为-

17

4

．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查学生的运算求解能力，注意多个减区间或增区间不能写成并集形式．