Question

定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，且f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…f（2011）=

 

．

Answer 1

分析：由函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，可得f（x）=

1

f(-x)

，f（-1）=

1

f(1)

=1，故f（-1）+f（0）+f（1）=0，由f（1）+f（2）+…f（2011）=0×670+f（1）求得结果．

解答：解：∵函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，∴f（x）=-f（-x-

3

2

）．
又 f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，∴-f（-x-

3

2

）=

1

f(-x)

，∴f（x）=

1

f(-x)

．
∴f（-1）=

1

f(1)

=1，故f（-1）+f（0）+f（1）=1-2+1=0，2011=3×670+1，
∴f（1）+f（2）+…f（2011）=0×670+f（1）=1，
故答案为 1．

点评：本题考查函数的对称性、周期性，得到f（x）=

1

f(-x)

，f（-1）+f（0）+f（1）=0，是解题的关键．