题目内容

用定义法证明f（x）=x3+x+1在R上是单调递增．
分析：设x1＜x2，利用单调递增的定义f（x1）-f（x2）＜0即可．
解答：解：设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
x
3
1
+x1+1-(
x
3
2
+x2+1)
=
x
3
1
-
x
3
2
+x1-x2
=(x1-x2)(
x
2
1
+x1x2+
x
2
2
)+（x1-x2）
=(x1-x2)(
x
2
1
+x1x2+
x
2
2
+1)
=（x1-x2）[(x1+
1
2
x2)2+
3
4
x
2
2
+1]．
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）=x3+x+1在R上是单调递增．
点评：本题考查了单调递增函数的定义，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=1-
2
ax+
a
2
（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数
（1）求a的值；
（2）用定义法证明f（x）在定义域R上单调递增；
（3）解不等式f（x2-2）+f（x）＞0．
设函数f（x）=
1+4x2x
．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上单调递增．
用定义法证明函数f(x)=
x2+1
-x在定义域内是减函数．
已知函数f（x）=ax+
b
x
（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），（2，
5
2
）两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明函数在[1，+∞）上是增函数．

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