Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D为AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求三棱锥C-B₁BD的体积．

Answer 1

分析：（1）根据有中点找中点的方法，设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点．在△ABC₁中，连接OD，D，O分别为AB，BC₁的中点，故OD为△ABC₁的中位线，根据线与线平行得到线与面平行．
（2）要求三棱锥的体积，以三角形BCD为底，转换成三角形ABC为底，这样三角形的面积和三棱锥的高都能够求出，得到结果．

解答：解：（1）证明：设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点．
在△ABC₁中，连接OD，D，O分别为AB，BC₁的中点，
故OD为△ABC₁的中位线，∴OD∥AC₁，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）V=

1

3

S△BCD•BB1
=

1

3

×

1

2

S△ABCBB1=

1

6

×

1

2

AC•BC•BB1=

1

12

×3×4×4=4

点评：本题考查直线与平面平行的判断，本题的关键是在平面上找出与直线平行的直线，根据有中点找中点的方法来解答．