Question

设函数f(x)=e^x+sinx，g(x)=ax，F(x)=f(x)-g(x)。
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点，求a的值；
(Ⅱ)当a=1时，设P(x₁，f(x₁))，Q(x₂，g(x₂))(x₁>0，x₂>0)，且PQ//x轴，求P、Q两点间的最短距离；
(Ⅲ)若x≥0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）F(x)=e^x+sinx-ax，，
因为x=0是F(x)的极值点，所以，，
又当a=2时，若x＜0，；若 x＞0，，
∴x=0是F(x)的极小值点，
∴a=2符合题意。
（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x轴，由f(x₁)=g(x₂)得，
所以，，
令，当x＞0时恒成立，
∴x∈[0，+∞时，h(x)的最小值为h(0)=1，
∴|PQ|_min=1。
（Ⅲ）令，
则，，
因为，当x≥0时恒成立，
所以函数S(x)在上单调递增，
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0，+∞）时恒成立；
因此，函数在上单调递增，，
当x∈[0，+∞）时，恒成立；
当a≤2时，，在[0，+∞）单调递增，即，
故a≤2时F(x)≥F(-x)恒成立，
当a＞2时，，
又∵在上单调递增，
∴总存在使得在区间上，
导致在递减，
而，
∴当时，这与对恒成立不符，
∴不合题意，
综上，a的取值范围是。