Question

已知抛物线的焦点为，过任作直线(与轴不平行)交抛物线分别于两点，点关于轴对称点为，

（1）求证：直线与轴交点必为定点；

（2）过分别作抛物线的切线，两条切线交于，求的最小值，并求当取最小值时直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）通过确定直线的方程，证明直线与轴交于定点.

（2）或.

【解析】

试题分析：（1）通过确定直线的方程，证明直线与轴交于定点.

（2）应用导数的几何意义，确定过点及过点的切线方程并联立方程组，确定,，

进一步应用“弦长公式”及均值定理，建立 的方程，确定得到，从而求得直线的方程为：或.

试题解析：设，∵抛物线的焦点为

∴可设直线的方程为：

，消去并整理得：

  4分

,

直线的方程为

∴直线与轴交于定点    7分

（2），∴过点的切线方程为：

即：③，同理可得过点的切线方程为：

④  9分

③—④得：()

∴

③+④得：

  12分

∴,

∴,取等号时，，

直线的方程为：或.  15分

考点：直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，均值定理的应用.