Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数为sin(2x-

π

6

)+

1

2

，然后求函数f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的值域，直接求出函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（3）利用正弦函数的单调性，直接求出函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：因为f(x)=

3

sinxcosx+sin2x
=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin2xcos

π

6

cos2xsin

π

6

+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
（1）函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）当sin(2x-

π

6

)=1时，f（x）取得最大值

3

2

，
此时，2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x=kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的最大值为

3

2

，取得最大值是x的集合为{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}；
（3）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
则2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，公式应用化简是本题解答的关键，三角函数在高考中常考题，必考题，掌握基本知识，基本方法．