Question

已知A、B、C是三角形的三个内角
（Ⅰ）若满足3sinB-sin（2A+B）=0，tan2

A

2

+4tan

A

2

-1=0，求角C的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当c=

2

时求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知两等式变形求出tanA及tanC的值，由特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形即可求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）由3sinB-sin（2A+B）=0，得3sin（A+B-A）=sin（A+B+A），
即3sin（A+B）cosA-3cos（A+B）sinA=sin（A+B）cosA+cos（A+B）sinA，即tanC=-2tanA，
由tan²

A

2

+4tan

A

2

-1=0，得到tanA=

2tan A 2

1-tan2 A 2

=

1

2

，即tanC=-1，
∵C三角形的内角，∴C=135°；
（2）由余弦定理得：a²+b²=c²+2abcos135°=2-

2

ab≥2+

2 (a2+b2)

2

，
解得：a²+b²的最小值4+2

2

．．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式的运用，以及二倍角的正切函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．