题目内容
函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（ ）
| A、在[-4，4]上为增函数 | B、在[4，+∞）上为增函数，在（-∞，-4]上为减函数 | C、在[-4，+∞）上为减函数 | D、在（-∞，-4]上为增函数，在[4，+∞）上也为增函数 |
分析：根据函数奇偶性的定义求出a，b的值，然后利用导数求函数的单调性即可．
解答：解：∵f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点中心对称，
∴f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b是奇函数，
即f（-x）=-f（x），
∴-ax3+（a-1）x2-48（a-2）x+b=-（ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b），
即a-1=0且b=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x3-48x．
函数的导数f'（x）=3x2-48=3（x2-16），
由f'（x）＞0，解得x＞4或x＜-4．此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，解得-4＜x＜4，此时函数单调递减．
故选：D．
∴f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b是奇函数，
即f（-x）=-f（x），
∴-ax3+（a-1）x2-48（a-2）x+b=-（ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b），
即a-1=0且b=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x3-48x．
函数的导数f'（x）=3x2-48=3（x2-16），
由f'（x）＞0，解得x＞4或x＜-4．此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，解得-4＜x＜4，此时函数单调递减．
故选：D．
点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，利用函数奇偶性的定义求出a．b是解决本题的关键．
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